1. 正交子空间

两个向量垂直，意味着 \(v^Tw=0\)。

两个子空间 \(\boldsymbol V\) 和 \(\boldsymbol W\) 是正交的，如果\(\boldsymbol V\) 中的每个向量 \(v\) 都垂直于 \(\boldsymbol W\) 中的每个向量 \(w\)。

想象你处在一个房间里，那么地面是一个子空间 \(\boldsymbol V\)，两面墙的交线是另一个子空间 \(\boldsymbol W\)，这两个子空间是正交的。

两面看起来垂直的墙不是正交的，因为它们相交于一条直线，这条直线同时存在于两个子空间，它不可能自己垂直于自己。

两个 \(\boldsymbol R^3\) 空间中的二维平面不可能正交，当两个子空间的维数之和大于整个空间的维数时，这两个子空间肯定不是正交的。

如果一个向量同时位于两个正交的子空间内，那这个向量一定是零向量，只有零向量自己垂直于自己。

零向量是零空间和行空间的唯一交点，并且零空间和行空间是 \(\boldsymbol R^n\) 中正交的两个子空间。

由 \(Ax=0\) 可得，行空间中的每个向量和零空间中的每个向量都是垂直的，因此它们是正交的子空间。

另一方面，\(A^Ty\) 是对 \(A\) 的行的线性组合，那么有

\[x^T(A^Ty) = (x^TA^T)y = (Ax)^Ty = 0\]

即，所有 \(A\) 的行的线性组合都垂直于 \(x\)。

左零空间和列空间是 \(\boldsymbol R^m\) 中正交的两个子空间。

2. 正交补

基本空间不仅仅是正交的，它们的维数也刚刚好。行空间的维数为 \(r\)，零空间的维数为 \(n-r\)，和为 \(n\)。列空间的维数为 \(r\)，左零空间的维数为 \(m-r\)，和为 \(m\)。

\(\boldsymbol R^3\) 空间中的两条直线也可以是垂直的，但它们不可能是一个 3×3 矩阵的行空间和零空间。

一个子空间 \(\boldsymbol V\) 的正交补（orthogonal complement）包含所有垂直于 \(\boldsymbol V\) 的向量 ，称为 \(\boldsymbol V^\perp\)。

由这个定义，那么零空间 \(N(A)\) 是 \(\boldsymbol R^n\) 中行空间 \(C(A^T)\) 的正交补，左零空间 \(N(A^T)\) 是 \(\boldsymbol R^m\) 中列空间 \(C(A)\) 的正交补。

补的意思是说每个向量 \(x\)，都可以表示为行空间分量 \(x_r\) 和零空间分量 \(x_n\) 的和，那么有：

\[Ax_n =0\]

\[Ax_r =Ax\]

所有的向量都去到了列空间，乘以 \(A\) 后没有做其它的事情。

而且，任何列空间中的向量 \(b\) 都来自于行空间中的唯一一个向量。如果有 \(Ax_r = Ax_r'\)，那么 \(x_r-x_r'\) 就位于零空间中，而且它也位于行空间中，所以它一定为零向量，也就是 \(x_r=x_r'\)。

3. 基和子空间

任何 \(\boldsymbol R^n\) 空间中的 \(n\) 个不相关向量一定扩充出 \(\boldsymbol R^n\) 空间，因此它们是一个基。

任何扩充出 \(\boldsymbol R^n\) 空间的 \(n\) 个向量一定是不相关的，因此它们是一个基。

如果 \(A\) 中的 \(n\) 列是不相关的，则它们扩充出 \(\boldsymbol R^n\) 空间，因此 \(Ax=b\) 是可解的。

如果 \(n\) 列扩充出 \(\boldsymbol R^n\) 空间，则它们是不相关的，因此 \(Ax=b\) 有唯一解。

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